\documentclass[12pt]{article}
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\makeatletter
\def\nl{\vphantom\vdots\\}
\def\iddots{\mathinner{\mkern1mu\raise\p@
    \hbox{.}\mkern2mu\raise4\p@\hbox{.}\mkern2mu
    \raise7\p@\vbox{\kern7\p@\hbox{.}}\mkern1mu}}
\makeatother

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{Probeklausur}
\date{12.12.01}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Betrachten Sie die Auswertung der Funktion $f(x)=\sqrt x$ an den
  Stellen $x=0$ und $x=1$.  Ist das Problem jeweils gut oder schlecht
  konditioniert?
  
  Ihre Antwort sollte auch eine Absch\"atzung der Konditionszahl an
  den beiden Stellen enthalten.
  
\hfill(4 Punkte)

\item Sie m\"ussen ein lineares Gleichungssystem l\"osen, dessen
  Matrix nur auf der Diagonalen und auf der Gegendiagonalen von $0$
  verschieden ist:
\[
  A = 
  \begin{pmatrix}
    a_1 & 0 &  & & & 0 & b_1 \\
    0 & a_2 & \ddots  && \iddots& b_2 & 0 \\
     & \ddots & \ddots & &\iddots & \iddots \\
     & \iddots & \iddots & & \ddots & \ddots \\
    0& b_{n-1} & \iddots & & \ddots & a_{n-1} & 0 \\
    b_n & 0 & & & & 0 & a_n
  \end{pmatrix}
\]
Weiterhin seien die $a_i$ betragsm\"a\ss ig gr\"o\ss er als jedes der
$b_i$.  (Nat\"urlich mit Gleichheit, falls sich die beiden Diagonalen
schneiden.)  Die Anzahl der Variablen ist sehr gro\ss, etwa $n=10^7$.
W\"urden Sie hier Gau\ss elimination mit/ohne Pivotierung oder einen
iterativen L\"oser einsetzen?  Begr\"unden Sie Ihre Antwort.

\hfill(4 Punkte)

\item Sei $p(x)$ das (Lagrange-)Interpolationspolynom der Funktion
  $f(x)$ mit St\"utzstellen $x_0=0$, $x_1=h$ und $x_2=2h$.  Die
  Funktionswerte an den St\"utzstellen seien mit $y_i=f(x_i)$
  bezeichnet.
  
  Zeigen Sie, indem Sie $p$ integrieren, dass folgende
  N\"aherungs\-formel gilt:
  \[
        \int_0^{2h} f(x) \, dx
        \approx \frac{h}3 \, (y_0 + 4 \, y_1 + y_2) .
  \]

\hfill(4 Punkte)  
  
\end{enumerate}
\end{document}
