\documentclass[12pt]{article}
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\def\nl{\vphantom\vdots\\}
\def\iddots{\mathinner{\mkern1mu\raise\p@
    \hbox{.}\mkern2mu\raise4\p@\hbox{.}\mkern2mu
    \raise7\p@\vbox{\kern7\p@\hbox{.}}\mkern1mu}}
\makeatother

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{Abschlussklausur}
\date{13.2.02}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Sie verwenden das Newton-Verfahren, um die Gleichung $x^2 = q$
  zu l\"osen.
  \begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie, dass dies auf die Fixpunktiteration
    \[
      x_{k+1} = \frac{x_k}2 + \frac{q}{2 \, x_k}
    \]
    f\"uhrt\footnote{Diese Methode zur Berechnung der Quadratwurzel
    war schon den Babyloniern bekannt.}.

  \item Sei $x$ die exakte L\"osung.  Zeigen Sie, dass damit
    \[
      x_{k+1} - x = \frac{(x_k-x)^2}{2 \, x_k}
    \]
    gilt.  Was bedeutet das f\"ur die Konvergenzgeschwindigkeit des
    Verfahrens?
  \end{enumerate}

\hfill(2+2 Punkte)
  
  
\item Sie l\"osen ein lineares Gleichungssystem durch
  Gau{\ss}elimination ohne Pivotsuche, wobei auf der linken Seite der
  Gleichung eine der Matrizen
  \[
    A = 
    \begin{pmatrix}
      \varepsilon & 10 \\ 1 & 10
    \end{pmatrix}
    \qquad \text{oder} \qquad
    B =
    \begin{pmatrix}
      1 + \varepsilon & 10 \\ 1 & 10
    \end{pmatrix}
  \]
  mit $\varepsilon=10^{-15}$ vorkommt.  In beiden F\"allen stellen Sie
  fest, dass das Residuum Ihrer numerischen L\"osung extrem gro\ss\ 
  ist.  Die Ursache ist jedoch verschieden:
  \begin{enumerate}
  \item \emph{Der numerische Algorithmus} ist schlecht konditioniert
    (eine Pivotsuche z.B. w\"urde Abhilfe verschaffen).
  \item \emph{Die Matrix selbst} ist schlecht konditioniert, und
    selbst der beste Algorithmus wird die Gleichung nicht
    zufriedenstellend l\"osen k\"onnen.
  \end{enumerate}
  Ordnen Sie die F\"alle (a) und (b) den Matrizen $A$ und $B$ zu und
  begr\"unden Sie Ihre Antwort kurz.  
  
\hfill(4 Punkte)

\item Gegeben ist folgende Version der Van-der-Pol Gleichung:
  \begin{align*}
    \dot x & = y \\
    \dot y & = -x + (x^2-1) \, y
  \end{align*}
  \begin{enumerate}
  \item Bestimmen Sie den (einzigen) Fixpunkt dieser Gleichung.
  \item Ist dieser Fixpunkt stabil?
  \end{enumerate}

\hfill(2+2 Punkte)

\item Bestimmen Sie den Stabilit\"atsbereich des impliziten
  Euler-Verfahrens.

\hfill(4 Punkte)

\item Das Adams--Bashforth-Verfahren 3.\ Ordnung zum L\"osen einer
  Differentialgleichung der Form $\dot x = f(x)$ ist gegeben durch
  \[
    x_{n+1} = x_n + \Delta t \,
    \bigl(
      \tfrac{23}{12} \, f_n + \alpha \, f_{n-1} +
      \tfrac5{12} \, f_{n-2}
    \bigr),
  \]
  wobei $f_k = f(x_k)$.
  
  Bestimmen Sie den noch fehlenden Koeffizienten $\alpha$ der
  Iterationsvorschrift.

\hfill(4 Punkte)

\item Wenn $X$ die stochastische Differentialgleichung
  \[
    dX = f(X) \, dt + g(X) \, dB
  \]
  erf\"ullt, so f\"uhrt die sogenannte It\^o--Taylor-Entwicklung auf
  \[
    X_{n+1} = X_n + f(X_n) \, \Delta t + g(X_n) \, \Delta B_n
    + \tfrac12 \, g(X_n) \, g'(X_n) \, ((\Delta B_n)^2 - \Delta t)
    + \ldots,
  \]
  wobei $\Delta B_n = B(t_{n+1}) - B(t_n)$ ein diskretes Inkrement der
  Brown'schen Bewegung ist.  Dieser Ausdruck kann direkt als
  numerisches Verfahren verwendet werden\footnote{Das Verfahren ist
  unter dem Namen Milstein-Methode bekannt, und hat im Gegensatz zum
  Euler--Maruyama-Verfahren die starke Konvergenzordnung $1$.}.
  
  Schreiben Sie einen \textsf{Octave}-Code, der mit dieser Methode
  eine Realisierung der L\"osung der stochastischen logistischen
  Gleichung
  \[
    dX = X \, (1-X) \, dt + X \, dB
  \]
  mit Anfangswert $X(0)=\tfrac12$ bis zum Zeitpunkt $T=1$ berechnet.
  
  
  

\hfill(4 Punkte)  
  
\end{enumerate}
\end{document}
