\documentclass[12pt]{article}
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\def\nl{\vphantom\vdots\\}

\begin{document}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{\"Ubungsblatt 10}
\date{16.1.2002}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Betrachten Sie die Differentialgleichung des harmonischen
  Oszillators in der Form
  \[
    \dot x = A \, x \qquad \text{mit } A =
    \begin{pmatrix}
      0 & 1 \\ -1 & 0
    \end{pmatrix}.
  \]
  (D.h.\ $x=x(t)$ ist hier eine vektorwertige Funktion.)

  \begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie, dass das implizite Eulerverfahren f\"ur diese
    Gleichung geschrieben werden kann als
    \[
      x_{n+1} = M^{-1} \, x_{n} \qquad \text{mit }
      M = I - \Delta t \, A.
    \]
  \item Warum ist $M$ f\"ur beliebigen Zeitschritt $\Delta t$
    invertierbar?

    (Hinweis: An was erinnert Sie die Determinante von $M$?)
  \end{enumerate}
  
\item \textbf{Programmieraufgabe:} L\"osen Sie den harmonischen
  Oszillator mit dem impliziten Eulerverfahren. 
    
\item \textbf{Programmieraufgabe:} Beim sogenannten symplektischen
  Eulerverfahren l\"ost man in der ersten Komponenten explizit, und in
  der zweiten Komponenten implizit (oder auch umgekehrt).  Schreiben
  Sie das resultierende Verfahren auf (analog zur Aufgabe 1a),
  modifizieren Sie Ihren Code entsprechend und vergleichen Sie mit dem
  impliziten Eulerverfahren, sowie mit dem expliziten Eulerverfahren
  vom letzten \"Ubungsblatt.

\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Abgabe:} Montag, 21.1.2002, um 12:30 f\"ur alle
\"Ubungsgruppen ins Postfach \emph{Oliver} des Mathematischen
Instituts, 3. Stock, C-Geb\"aude.

\medskip\noindent
\textbf{Hinweis:} Bitte notieren sie rechts oben auf Ihrer L\"osung,
an welchem \emph{Wochentag} und in welchem \emph{Raum} Sie an der
\"Ubungsgruppe teilnehmen.

\end{document}

\item \textbf{Programmieraufgabe:} L\"osen Sie das Volterra--Lotka-Modell
  \begin{align*}
    \dot x &= x - x \, y \\
    \dot y &= x \, y - y, 
  \end{align*}
  (im Vergleich zur Vorlesung sind hier alle Koeffizienten auf $1$
  gesetzt) mit dem 
  Plotten Sie
  die L\"osung im Phasenraum.

