\documentclass[12pt]{article}
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\def\nl{\vphantom\vdots\\}

\begin{document}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{\"Ubungsblatt 11}
\date{23.1.2002}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Will man in der Praxis untersuchen, ob ein bereits
  implementiertes Verfahren zum L\"osen einer Differentialgleichung
  wirklich von der Ordnung $p$ ist, so geht man oft folgenderma{\ss}en
  vor: Man f\"uhrt die Rechung wiederholt durch, wobei man jedes Mal
  die Anzahl der Schritte verdoppelt (also die Zeitschritt\emph{weite}
  halbiert).  Dann tr\"agt man die Schrittanzahl gegen den Fehler
  (bez\"uglich einer bekannten exakten L\"osung oder einer numerischen
  Referenzl\"osung mit sehr kleinem Zeitschritt) in einem
  log-log-Diagramm auf.  Bei einem Verfahren der Ordnung $p$ liegen
  die Punkte auf einer Geraden der Steigung~$-p$.

  Erkl\"aren Sie diese Vorgehensweise.

\item Zeigen Sie, dass f\"ur die L\"osung der logistischen
  Differentialgleichung
  \[
    \dot x = x \, (1-x), \qquad x(0) = \tfrac12,
  \]
  gilt
  \[
    x(1) = \frac{e}{1+e}.
  \]
    
\item \textbf{Programmieraufgabe:} Wenden Sie die in Aufgabe~1
  geschilderte Vorgehensweise auf das Beispiel von Aufgabe~2 an.

  Als numerisches Verfahren nehmen Sie das explizite Eulerverfahren
  (Ordnung $1$) sowie ein beliebiges Verfahren 2. Ordnung aus der
  Vorlesung (Taylor-Methode, Runge--Kutta oder Adams--Bashforth).

\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Abgabe:} Montag, 28.1.2002, um 12:30 f\"ur alle
\"Ubungsgruppen ins Postfach \emph{Oliver} des Mathematischen
Instituts, 3. Stock, C-Geb\"aude.

\medskip\noindent
\textbf{Hinweis:} Bitte notieren sie rechts oben auf Ihrer L\"osung,
an welchem \emph{Wochentag} und in welchem \emph{Raum} Sie an der
\"Ubungsgruppe teilnehmen.

\end{document}

\item \textbf{Programmieraufgabe:} L\"osen Sie das Volterra--Lotka-Modell
  \begin{align*}
    \dot x &= x - x \, y \\
    \dot y &= x \, y - y, 
  \end{align*}
  (im Vergleich zur Vorlesung sind hier alle Koeffizienten auf $1$
  gesetzt) mit dem 
  Plotten Sie
  die L\"osung im Phasenraum.

