\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fullpage,amsmath,amsfonts}

\def\nl{\vphantom\vdots\\}

\begin{document}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{\"Ubungsblatt 12}
\date{30.1.2002}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item \textbf{Programmieraufgabe:} L\"osen Sie das Volterra--Lotka-Modell
  \begin{align*}
    \dot x &= x - x \, y \\
    \dot y &= x \, y - y, 
  \end{align*}
  (im Vergleich zur Vorlesung sind hier alle Koeffizienten auf $1$
  gesetzt) mit vern\"unftigen Anfangsbedingungen und einem numerischen
  Verfahren Ihrer Wahl.
  
  Schaffen Sie es, ein stabiles Verfahren zu finden (d.h.\ ein
  Verfahren, unter dem der Fixpunkt $(1,1)$ stabil bleibt)?  F\"ur
  diese Aufgabe sind alle Hilfmittel und Quellen erlaubt und
  erw\"unscht.
  
\item \textbf{Programmieraufgabe:} Visualisieren Sie den
  R\"ossler-Attraktor, der das Langzeitverhalten von L\"osungen der
  Differentialgleichung
  \begin{align*}
    \dot x &= -y-z \\
    \dot y &= x + \tfrac15 \, y \\
    \dot z &= \tfrac15 + x \, z - \mu \, z
  \end{align*}
  bestimmt.  Beschreiben Sie qualitativ den \"Ubergang ins Chaos (beim
  Parameterwert $\mu=5.7$ sollten Sie sich im chaotischen Bereich
  befinden).  Was ist der Effekt von numerischen Fehlern in dieser
  Situation?
    
\item \textbf{Programmieraufgabe:} L\"osen Sie die stochastische
  Differentialgleichung
  \[
    dX = \lambda \, X \, dt + \mu \, X \, dW
  \]
  f\"ur $\lambda=1$ mit dem Euler--Maruyama-Verfahren.  Wie \"andert
  sich das Verhalten der L\"osung in den F\"allen $\lambda \ll
  \tfrac12 \mu^2$, $\lambda = \tfrac12 \mu^2$ und $\lambda \gg \tfrac12
  \mu^2$?

\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Abgabe:} \textbf{Freitag}, 8.2.2002, um 12:30 f\"ur alle
\"Ubungsgruppen ins Postfach \emph{Oliver} des Mathematischen
Instituts, 3. Stock, C-Geb\"aude.

\medskip\noindent Den programmiertechnischen Teil dieser Aufgaben
d\"urfen Sie ausdr\"ucklich in Gruppen von drei bis maximal vier
Personen bearbeiten.  Die Antworten m\"ussen jedoch wie immer einzeln
eingereicht werden.  Jede(r) ist f\"ur mindenstens ein Programm
``verantwortlich'' (geben Sie dieses schon bei der Abgabe an), sollte
das Programm also vorf\"uhren k\"onnen.


\end{document}

