\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{\"Ubungsblatt 2}
\date{24.10.2001}
\maketitle



\begin{enumerate}

\item \textbf{Programmieraufgabe:} Schreiben Sie ein
  \textsf{Octave}-Programm, das die Nullstelle einer Funktion $f(x)$
  zu einem Startwert $x_0$ mit dem Newton-Verfahren berechnet.

\item
\begin{enumerate}
  \item Testen Sie Ihr Programm mit der Funktion
\[
  f(x) = (1-x)^7 ,
\]
deren einzige Nullstelle bei $x=1$ liegt.

\item Durch Ausmultiplizieren erh\"alt man
\[
  f(x) = 1 - 7\,x + 21\,x^2 - 35\,x^3 + 35\,x^4 - 21\,x^5 + 7\,x^6 - 
  x^7.
\]
Wiederholen Sie die Berechnung.  Welches Ergebnis ist genauer?  Was
sehen Sie, wenn Sie beide Formen in unmittelbarer Umgebung der
Nullstelle plotten?
\end{enumerate}

\item Sei $f(x)$ eine glatte Funktion mit einer einfachen Nullstelle
  bei $x=x_0$, und $g(x)$ eine glatte Funktion mit $\lvert g(x)
  \rvert \leq 1$.  Zeigen Sie, dass
\[
  h(x) = f(x) + \varepsilon \, g(x)
\]
f\"ur kleines $\varepsilon$ eine Nullstelle bei $x=x_0+\delta$ mit
\[
  \delta \approx - \varepsilon \, \frac{g(x_0)}{f'(x_0)}
\]
hat.  Wann ist das Problem gut bzw.\ schlecht konditioniert?
  
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Abgabe:} Montag, 29.10.01, um 10:30 f\"ur die Montagsgruppe,
und um 12:00 f\"ur alle anderen \"Ubungsgruppen, im Postfach
\emph{Oliver} des Mathematischen Instituts, 3. Stock, C-Geb\"aude.

\end{document}
