\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{\"Ubungsblatt 3}
\date{31.10.2001}
\maketitle



\begin{enumerate}

\item Sei, wie in der Vorlesung, $\lVert x \rVert$ die Euklidische
  Norm eines Vektors $x \in \mathbb{R}^n$, und sei die zugeh\"orige
  Matrixnorm der $n\times n$ Matrix $A$ gegeben durch
\[
  \lVert A \rVert = \max_{x \neq 0} \frac{\lVert Ax \rVert}{\lVert x
  \rVert}.
\]
\begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie, dass
\[
  \lVert A \rVert = \sqrt{\lambda_{\text{max}}},
\]
wobei $\lambda_{\text{max}}$ der gr\"o\ss te Eigenwert der Matrix $A^T
A$ ist.

Hinweise: Sie k\"onnen schreiben $\lVert x \rVert^2 = x^T x$.  Die
Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell und nicht negativ;
die $n$ Eigenvektoren lassen sich so w\"ahlen, dass sie eine
Orthonormalbasis des $\mathbb{R}^n$ bilden.


\item Zeigen Sie, dass die Konditionszahl einer orthogonalen Matrix
  immer $1$ ist.

\end{enumerate}

\item Die $n \times n$ Vandermonde Matrix ist 
\[
 V =
 \begin{pmatrix}
   1 & 2 & 4 & 8 & \cdots & 2^{n-1} \\
   1 & 3 & 9 & 27 & \cdots & 3^{n-1} \\
   1 & 4 & 16 & 64 & \cdots & 4^{n-1} \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   1 & n+1 & (n+1)^2 & (n+1)^3 & \cdots & (n+1)^{n-1}
 \end{pmatrix}.
\]
Sei $b$ der Vektor der Zeilensummen von $V$.  Bestimmen Sie $b_i$.
Wie lautet die L\"osung des linearen Gleichungssystems $Vx=b$?

\item
\textbf{Programmieraufgabe:} Schreiben Sie eine
\textsf{Octave}-Funktion \texttt{vandermonde(n)}, die die $n \times n$
Vandermonde Matrix liefert. Berechnen Sie dann die Konditionszahlen
von \texttt{vandermonde(10)} und \texttt{vandermonde(20)}.  Hierbei
k\"onnen (und sollten) Sie m\"oglichst die eingebauten
Lineare-Algebra-Funktionen verwenden.
  
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Abgabe:} Montag, 5.11.2001, um 12:30 f\"ur alle
\"Ubungsgruppen ins Postfach \emph{Oliver} des Mathematischen
Instituts, 3. Stock, C-Geb\"aude.

\medskip\noindent
\textbf{Hinweis:} Bitte notieren sie rechts oben auf Ihrer L\"osung,
an welchem \emph{Wochentag} und in welchem \emph{Raum} Sie an der
\"Ubungsgruppe teilnehmen.

\end{document}
