\documentclass[12pt]{article}
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\def\nl{\vphantom\vdots\\}

\begin{document}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{\"Ubungsblatt 6}
\date{21.11.2001}
\maketitle

Dieses \"Ubungsblatt befasst sich mit \emph{eingespannten Splines} auf
\"aquidistanten St\"utzstellen $x_i=i$, $i=1,\dots, n$.  Die
Splinefunktion auf dem $i$-ten Teilintervall sei, wie in der
Vorlesung, bezeichnet mit
\[
  s_i(x) = a_i \, (x-x_i)^3 + b_i \, (x-x_i)^2 + c_i \, (x-x_i) +
  d_i.
\]
Weiterhin seien Funktionswert, erste, und zweite Ableitung des Splines
an der $i$-ten St\"utz\-stel\-le mit $y_i$, $y_i'$ und $y_i''$
bezeichnet. 

\begin{enumerate}

\item Zeigen Sie, analog zum Vorgehen in der Vorlesung, dass
  \begin{gather*}
    a_i = 2 \, (y_{i-1} - y_i) + y_i' + y_{i-1}' , \\
    b_i = 3 \, (y_{i-1} - y_i) + 2 \, y_i' + y_{i-1}' , \\
    c_i = y_i' , \\
    d_i = y_i .
  \end{gather*}
  
\item Schlie\ss en Sie daraus, dass die Ableitungen an den
  St\"utzstellen des eingespannten Splines folgendes lineares
  Gleichungssystem l\"osen:
  \[
  \begin{pmatrix}
    4 & 1 & & & \cdots & 0 \nl
    1 & 4 & 1 & & & \vdots \nl
      & 1 & 4 & 1 \nl
      & & \ddots & \ddots & \ddots \nl
    \vdots & & & 1 & 4 & 1 \nl
    0 & \cdots & & & 1 & 4 \nl
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    y_1' \nl y_2' \nl y_3' \nl \vdots \nl y_{n-2}' \nl y_{n-1}' \nl
  \end{pmatrix}
  = 3 
  \begin{pmatrix}
    y_2 - y_0 \nl
    y_3 - y_1 \nl
    y_4 - y_2 \nl
    \vdots \nl
    y_{n-1} - y_{n-3} \nl
    y_n - y_{n-2}  \nl
  \end{pmatrix}
  -
  \begin{pmatrix}
    y_0' \nl 0 \nl 0 \nl \vdots \nl 0 \nl y_n'
  \end{pmatrix}.
  \]
\item \textbf{Programmieraufgabe:} L\"osen Sie das Gleichungssystem
  und plotten Sie den berechneten Spline mit $n=10$, $y_i=0$ f\"ur
  alle $i=0,\dots,10$, $y_{10}'=0$ und $y_0' = a$.  Beschreiben Sie,
  was Sie f\"ur verschiedene Werte von $a$ sehen.

\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Abgabe:} Montag, 26.11.2001, um 12:30 f\"ur alle
\"Ubungsgruppen ins Postfach \emph{Oliver} des Mathematischen
Instituts, 3. Stock, C-Geb\"aude.

\medskip\noindent
\textbf{Hinweis:} Bitte notieren sie rechts oben auf Ihrer L\"osung,
an welchem \emph{Wochentag} und in welchem \emph{Raum} Sie an der
\"Ubungsgruppe teilnehmen.

\end{document}
