\documentclass[12pt]{article}
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\def\nl{\vphantom\vdots\\}

\begin{document}

\title{Mathematik f\"ur Bioinformatiker III (Numerik)}
\author{\"Ubungsblatt 8}
\date{5.12.2001}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Wie in der Vorlesung gezeigt, erf\"ullen die
  Tschebyscheff-Polynome die Rekursionsrelation
  \begin{gather*}
    T_0(x) = 1, \\
    T_1(x) = x, \\
    T_{k+1}(x) = 2x \, T_k(x) - T_{k-1}(x) \quad \text{f\"ur } k \geq
    1. 
  \end{gather*}
  Schlie\ss en Sie daraus, dass
  \[
    T_k (-x) = (-1)^k \, T_k(x) .
  \]

\item Zeigen Sie, dass f\"ur $i\neq j$
  \[
    \int_{-1}^1 \frac{T_i(x) \, T_j(x)}{\sqrt{1-x^2}}
    \, \mathrm{d}x = 0.
  \]
  (Benutzen Sie hier, dass $T_k(x) = \cos(k \theta)$ mit $x =
  \cos\theta$ und substituieren Sie.)
  
\item \textbf{Programmieraufgabe:}  Kopieren Sie die Datei
\begin{verbatim}
  http://na.uni-tuebingen.de/~oliver/daten
\end{verbatim}
  in das Verzeichnis, in dem Sie mit \textsf{Octave} arbeiten.  Die
  Datei enth\"alt simulierte Messdaten eines radioaktiven
  Zerfallsprozesses, die Sie mit dem \textsf{Octave}-Befehl
  \texttt{load daten} laden.  Dadurch werden Vektoren \texttt{t} und
  \texttt{y} mit den Koordinaten der Messdaten definiert.
  
  Sie wissen, dass die Messdaten von einer Probe stammen, die Isotope
  mit Zeitkonstanten $1/5, 1/10$, und $1/20$ enth\"alt.  Sie suchen
  daher einen Least-Square-Fit mit den Basisfunktionen
  $N_1(x) = \exp(-t/5)$, 
  $N_2(x) = \exp(-t/10)$, und
  $N_3(x) = \exp(-t/20)$.
  
  Stellen Sie das Normalengleichungssystem auf, und bestimmen Sie die
  Zusammensetzung der Probe zum Zeitpunkt $t=0$.  Was ist die
  Konditionszahl der Normalenmatrix?

\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Abgabe:} Montag, 10.12.2001, um 12:30 f\"ur alle
\"Ubungsgruppen ins Postfach \emph{Oliver} des Mathematischen
Instituts, 3. Stock, C-Geb\"aude.

\medskip\noindent
\textbf{Hinweis:} Bitte notieren sie rechts oben auf Ihrer L\"osung,
an welchem \emph{Wochentag} und in welchem \emph{Raum} Sie an der
\"Ubungsgruppe teilnehmen.

\end{document}


\item \textbf{Programmieraufgabe:} Sei das Intervall $[-1,1]$ in $n+1$
  \"aquidistante St\"utzstellen $x_0,\dots,x_n$ aufgeteilt, und sei
  \[
    g_k = 
    \begin{pmatrix}
      T_k(x_0) \\ \vdots \\ T_k(x_n)
    \end{pmatrix}
    =
    \begin{pmatrix}
      \cos(k \, \arccos(x_0)) \\ \vdots \\ \cos(k \, \arccos(x_n))
    \end{pmatrix}.
  \]
  Stellen Sie die Normalenmatrix $A$ mit Eintr\"agen
  \[
    a_{ij} = g_i^T \, g_j,
  \]
  $i,j = 0,\dots,10$ auf und bestimmen Sie die Konditionszahl.

