\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\title{Elemente der Variationsrechnung}
\author{Abschlussklausur}
\date{16.07.02}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Betrachte das Variationsintegral
\[
  \mathcal F(u) = \int_0^1 \sqrt{1 + u'(x)^2} \, d x
\]
mit Randbedingungen $u(0)=0$ und $u(1)=1$.

\begin{enumerate}
\item Zeige, dass $u(x)=x$ die eindeutige Lösung der Eulergleichung
ist.

\item Zeige, dass $u(x)=x$ die hinreichende Bedingung für die Existenz
eines lokalen schwachen Minimums erfüllt.
\end{enumerate}
\hfill (3+3 Punkte)

\item Sei $L(t,q,v) = t \, v^2$.
\begin{enumerate}
\item Zeige: das Wirkungsintegral
\[
  \mathcal{W}_s (Q) = \int_{T_1}^{T_2} L(T,Q,\frac{dQ}{dT}) \, dT
\]
ist \emph{nicht} invariant unter der Zeittranslation
\[
  (t,q) \mapsto (T,Q) = (t+s, q) \,.
\]
\item Zeige: $\mathcal{W}_s$ ist invariant unter der Raumtranslation
\[
  (t,q) \mapsto (T,Q) = (t, q+s) \,.
\]
Wie lautet das zugehörige erste Integral nach dem Satz von Noether?
\end{enumerate}
\hfill (2+4 Punkte)

\newpage
  
\item Hinweis: Die Teile der folgenden Aufgabe können weitgehend
unabhängig voneinander bearbeitet werden.

\begin{enumerate}
\item Das Wirkungsintegral
\[
  \mathcal{W}_s (Q) = \int_{t_1}^{t_2} L(t,Q,\frac{dQ}{dt}) \, dt
\]
sei invariant unter der Ortstransformation
\[
  q \mapsto Q=Q(q,s) 
\]
und der infinitesimale Generator dieser Symmetrie sei bezeichet mit
\[
  \eta(q) = \frac{dQ}{ds} \bigg|_{s=0} \,.
\]

Beweise den Satz von Noether für diesen Fall.

\item
Modifiziere den Beweis des Satzes von Noether so, dass nicht partiell
integriert wird.  Schließe auf diese Weise, dass
\[
  L_q(t,q,\dot q) \, \eta(q)
  + L_{v} (t,q,\dot q) \, \eta'(q) \, \dot q = 0 \,.
\]

\item Sei im Weiteren $L(t,q,v) = t \, e^q \, v^2$.  Verwende das
Ergebnis aus Teil (b), um zu zeigen, dass der infinitesimale Generator
einer reinen Ortstransformation
\[
  \eta(q) = e^{-q/2}
\]
lauten muss.

\item
Schließe mit dem Satz von Noether und Teil (c), dass ein erstes
Integral gegeben ist durch
\[
  t \, e^{q/2} \, \dot q = c \,.
\]

\item
Zeige schließlich durch Integration des Ergebnisses von (d), dass die
allgemeine Lösung der Euler--Lagrange-Gleichung lautet
\[
  q(t) = 2 \, \ln \left( \frac{c \, \ln t - b}2 \right) \,,
\]
wobei die Konstanten $b$ und $c$ durch Anfangs- oder Randbedingungen
zu bestimmen sind.

\end{enumerate}
\hfill(2+3+3+2+2 Punkte)

\newpage

\item In Transportproblemen der Kontinuumsmechanik gibt es zwei
Geschwindigkeitsfelder\footnote{Zur Erläuterung, aber für die Aufgabe
nicht direkt relevant: Die sogenannte Lagrange'sche Geschwindigkeit
$\dot q$ ist die Geschwindigkeit eines Teilchens, dass man in seiner
Bewegung verfolgt.  Es entspricht also dem Geschwindigkeitsbegriff der
Teilchenmechanik.  Die sogenannte Euler'sche Geschwindigkeit $u$
hingegen ist die Geschwindigkeit, die ein stationär verankerter
Beobachter misst, an dem kontinuierlich (immer neue) Teilchen
vorbeiströmen.} $\dot q=\dot q(x,t)$ und $u=u(x,t)$, die über
\[
  \dot q (x,t) = u(q(x,t),t)
\]
zusammen hängen.  (Wir schreiben $\dot q = \frac{\partial q}{\partial
t}$ und nehmen an, dass für festes $t$ die Abbildung $q(\,\cdot\, ,t)$
ein Diffeomorphismus ist.)

Genauso kann man neben $\delta q$ eine zweite Variation $w=x(x,t)$
dadurch definieren, dass
\[
  \delta q(x,t) = w(q(x,t),t) \,. \tag{*}
\]

\begin{enumerate}
\item Zeige, dass
\[
  \delta u = \dot w + u \, \frac{\partial w}{\partial x}
  - w \, \frac{\partial u}{\partial x} \,.
\]

\item Zeige mit (a), dass die Euler--Lagrange-Gleichungen zum
Wirkungsintegral
\[
  \mathcal{W} (u) = \frac12 \int_{t_1}^{t_2} \int_{-\infty}^\infty
  u(x,t)^2 \, dx \, dt
\]
bezüglich Variationen der Form (*), die in $t_1$ und $t_2$
verschwinden, folgenderweise lauten:
\[
  \dot u + 3 \, u \, \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \,.
\]
(Man darf dabei annehmen, dass $u(x,t)$ für $x \to \pm \infty$
verschwindet.)
\end{enumerate}
\hfill (3+3 Punkte)

\end{enumerate}
\end{document}
