\documentclass[12pt]{article}
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\newcommand*{\PC}[1]{\Space{\mathrm{PC}}{}{#1}}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\title{Elemente der Variationsrechnung}
\author{Probeklausur}
\date{12.06.02}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Betrachte das Variationsintegral
\[
  \mathcal F(u) = \int_0^1 (u'^2 + u'^3) \, d x
\]
mit Randbedingungen $u(0)=0$ und $u(1)=1$.

\begin{enumerate}
\item Zeige, dass $u(x)=x$ die eindeutige $\PC1$-Lösung der
Eulergleichung ist.

\item Zeige, dass $u(x)=x$ die hinreichende Bedingung für die Existenz
eines lokalen schwachen Minimums erfüllt.
\end{enumerate}
\hfill (2+2 Punkte)

\item Betrachte das Variationsintegral
\[
  \mathcal F(u) = \int_{-1}^2 u' \, (1 + x^2 \, u') \, d x
\]
mit Randbedingungen $u(-1)=1$ und $u(2)=1$.

\begin{enumerate}
\item Zeige, dass $u(x)=1$ die eindeutige $\PC1$-Lösung der
Eulergleichung ist.

\item Zeige, dass die hinreichende Bedingung für die Existenz eines
lokalen schwachen Minimums \emph{nicht} erfüllt ist.

\item Zeige, dass $u(x)=1$ trotzdem ein starkes lokales Minimum des
Variationsproblems ist.

Hinweis: Berechne $\mathcal F(u + \varepsilon \varphi) - \mathcal
F(u)$.

\end{enumerate}
\hfill (1+1+2 Punkte)  
  
\newpage

\item Betrachte das Variationsintegral
\[
  \mathcal F(u) = \int_\alpha^\beta
    \bigl(
      \tfrac12 \, u''(x)^2 +
      \tfrac12 \, u(x)^2 + f(x) \, u(x)
    \bigr) \, dx
\]
für gegebenes $f \in C[\alpha,\beta]$ auf der Variationsklasse
\[
  \mathcal V = \{ v \in \PC2[0,1] \colon v(\alpha)=a, v(\beta)=b \}. 
\]
Wie lautet die Eulergleichung, und wie lauten die Randbedingungen für
die Euler\-gleichung?

(Vorsicht: Wie viele Randbedingungen braucht man für diese
Eulergleichung?)

\hfill (4 Punkte)


\item Betrachte die Poissongleichung
\begin{gather*}
  \Delta u = f  \quad \text{in } \Omega, \\
  u = 0 \quad \text{auf } \partial \Omega,
\end{gather*}
wobei $\Omega \subset \mathbb R^n$ ein Gebiet mit glattem Rand
$\partial \Omega$ ist.

\begin{enumerate}
\item Schreibe die Poissongleichung als Eulergleichung eines
Variationsproblems.

\item Skizziere den Beweis folgender Aussage: Falls $f \in C(\overline
\Omega)$ und $u$ eine $C^1(\overline \Omega)$-Lösung der
Poissongleichung ist, so gilt schon $u \in C^2(\Omega)$.

Hinweis: Für $n=1$ ist die Aussage offensichtlich, da sich die Lösung
durch zweifache Integration berechnen lässt.  In dieser Aufgabe geht
es darum, die Beweisstrategie für den allgemeinen Fall mit
Hilfsmitteln aus der Variationsrechnung zu formulieren, auch wenn der
benötigte Satz in der Vorlesung nicht für den Fall $n>1$ bewiesen
wurde.  Wie müsste dieser Satz im Allgemeinen lauten?

\end{enumerate}
\hfill (2+2 Punkte)

\end{enumerate}
\end{document}
