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\begin{document}

\title{Elemente der Variationsrechnung}
\author{Übungsblatt 1}
\date{23.04.2002}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Lagrange--Multiplikatoren im $\mathbb R^n$ (zur Wiederholung):

Bestimmen Sie, welcher Punkt der Ellipse
\begin{equation*}
  x^2 + 4 \, y^2 = 4
\end{equation*}
dem Punkt $(1,0)$ am nächsten liegt. 

\item Fischer/Kaul, Beipiel 1.5 (c): Betrachten Sie das Funktional
\[
  \mathcal F(v) = \int_0^1
    \bigl( v'(x)^2 - 1 \bigr)^2 \, dx
\]
auf der Variationsklasse
\[
  \mathcal V = \{ v \in \PC1[0,1] \colon v(0)=v(1)=0 \}.
\]
\begin{enumerate}
\item Stellen Sie die Euler--Gleichung auf und lösen Sie diese.

\item Zeigen Sie, dass die Lösung der Euler--Gleichung ein schwaches,
aber kein starkes Maximum ist.
\end{enumerate}


\item Ein in Höhe $y=y(x)$ fliegendes Flugzeug hat einen
Treibstoffverbrauch pro Bogenlängeneinheit geflogener Wegstrecke von
$\exp(-y/H)$, wobei $H$ eine vorgegebene Konstante ist.  Welche
Flugkurve verbindet zwei auf Höhe $0$ liegende Orte, die eine
horizontale Distanz $L$ auseinanderliegen, mit minimalem
Treibstoffverbrauch?

\end{enumerate}

Abgabe: Am 30.4. in der Vorlesung.

\end{document}
