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\begin{document}

\title{Elemente der Variationsrechnung}
\author{Übungsblatt 2}
\date{30.04.2002}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Gegeben sei ein Variationsintegral der Form
\[
  \mathcal F(u) = \int_\alpha^\beta F(u(x),u'(x)) \, d x .
  \tag{*}
\]
\begin{enumerate}
\item Nehmen Sie an, die Lösung des Variationsproblems $\delta
\mathcal F (u) = 0$ sei eine invertierbare $C^2$ Funktion; die Inverse
von $y=u(x)$ sei mit $x=v(y)$ bezeichnet.  Zeigen Sie, dass das
Variationsproblem äquivalent ist zu $\delta \mathcal G(v)=0$ mit
\[
  \mathcal G(v) = \int_{a}^b G(y,v'(y)) \, d y
  \tag{**}
\]
und
\[
  G(y,v'(y)) = F \Bigl( y, \frac1{v'(y)} \Bigr) \, v'(y) .
\]
Wie sind $a$ und $b$ bestimmt?

\item Leiten Sie aus der (bekannten) Formel für das erste Integral von
(**) die (ebenfalls bekannte, aber weniger offensichtliche) Formel für
das erste Integral von (*) her.  
\end{enumerate}
 
  
\item Fischer/Kaul, Seiten 36 und 37:  Vervollständigen Sie die drei
in der Herleitung der Kettenlinie mit ``ÜA'' gekennzeichneten Lücken. 

\end{enumerate}

Abgabe: Am 7.5. in der Vorlesung.

\end{document}
