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\begin{document}

\title{Elemente der Variationsrechnung}
\author{Übungsblatt 5}
\date{29.05.2002}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Führe den Beweis des Satzes auf Seite 70 im Fischer/Kaul im
Detail aus.  Erkläre dabei auch die Bemerkung ``Das System der
Jacobi--Gleichungen stellt die Linearisierung des Systems der
Euler--Gleichungen dar.''

\item Vervollständige die Rechnung im Abschnitt 4.5 (Seiten 100/101),
insbesondere die mit ÜA gekennzeichneten Stellen.  (Dabei soll nur auf
die hinreichende Bedingung für die Existenz schwacher Mimima, nicht
auf die für starke Minima, Bezug genommen werden.)

\item Gegeben sei das Varationsintegral 
\[
  \mathcal F(u) = \int_2^3 u^2 \, (1-u')^2 \, d x 
\]
mit Randbedingungen $u(2)=1$, $u(3)=\sqrt 3$.
\begin{enumerate}
\item Zeige, dass durch
\[
  u^2 - (x-\tfrac32)^2 = \tfrac34
\]
eine Extremale definiert ist (siehe erste Übungsgruppenstunde).

\item Ist die hinreichende Bedingung für die Existenz eines lokalen
schwachen Minimums erfüllt? 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}

Abgabe: Am 5.6. bis 10:00 Uhr ins Postfach \emph{Oliver}, 3. Stock,
C-Gebäude. 

\end{document}
