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\begin{document}

\title{Elemente der Variationsrechnung}
\author{Übungsblatt 7}
\date{25.06.2002}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Sei $L(t,q,v) = \tfrac12 \, t \, (v^2 - \tfrac13 \, q^6)$.
\begin{enumerate}
\item Zeige, dass das Wirkungsintegral invariant ist bezüglich der
Einparameterfamilie von Transformationen
\[
  \h_s \colon (t,q) \mapsto \bigl( (1+s) t, (1+s)^{-1/2} q \bigr) \,.
\]
\item Verwende das Noether--Theorem, um das folgende erste Integral zu
finden:
\[
  \tfrac16 \, t^3 \, q^6 + \tfrac12 \, t^3 \, v^2
  + \tfrac12 \, t^2 \, qv = C \,.
\]
\end{enumerate}

\item Zeige, dass die Hamilton'sche Formulierung des Noether--Theorems
für Raum-Zeit-Symmetrien lautet
\[
  \langle \p, \boldsymbol{\eta}(t,\q)
  - H(\q, \p) \, \xi(t,\q) = C \,,
\]
wobei $\boldsymbol\eta$ und $\xi$ die infinitesimalen Generatoren der
Symmetriegruppe in Raum bzw.\ Zeitrichtung sind.

\end{enumerate}

Abgabe: Am 2.7.\ in der Vorlesung.

\end{document}
