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\newcommand*  {\id}{\operatorname{Id}}

\begin{document}

\title{Str\"omungsmechanik}
\author{\"Ubungsblatt 1}
\date{25.04.2001}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Sei $f=f(\x,t)$ ein hinreichend glattes skalares Feld.  Wie in
  der Vorlesung ist $W_t = \eta (W)$ ein zeitabh\"angiges Testvolumen,
  $\eta=\eta(\x,t)$ der von einem Vektorfeld $\u=\u(\x,t)$ erzeugte
  Fluss (also $\dot \eta = \u \circ \eta$), und $D_t = \partial_t + \u
  \cdot \grad$ die materielle Ableitung.
  
  Leite folgende Transports\"atze aus dem Satz von Liouville ab.
  \begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \frac{\d}{\d t} \int_{W_t} \rho f \, \d V =
    \int_{W_t} \rho \, D_t f \, \d V$

  \item $\displaystyle \frac{\d}{\d t} \int_{W_t} f \, \d V =
    \int_{W_t} \partial_t f \, \d V + \int_{\partial W_t} f \, \u
    \cdot \n \, \d A$
  \end{enumerate}
  Welche Bedeutung haben die beiden Integrale auf der rechten Seite
  von (b)?

\item Ein Vektorfeld $\w(\x)$ kann man durch
  $$
    \w(\x) = \frac{\partial \phi_\varepsilon(\x)}{\partial
    \varepsilon} \bigg|_{\varepsilon=0}
  $$
  definieren, wobei $\phi_\varepsilon \colon \Omega \to \Omega$ eine
  Einparameterfamilie von Diffeomorphismen mit $\phi_0 = \id$ ist.
  
  Dieses Vektorfeld soll durch den Fluss $\eta=\eta(\x,t)$ auf
  folgende Weise transportiert werden: Man nehme das \emph{Bild der
  Kurve} $\phi_\varepsilon$ unter dem Fluss, leite dann erst nach
  $\varepsilon$ ab und setze schlie\ss lich $\varepsilon=0$.
  
  Zeige, dass man so ein zeitabh\"angiges Vektorfeld $\v=\v(\x,t)$
  erh\"alt, das die Transportgleichung
  \begin{gather*}
    \partial_t \v + \u \cdot \grad \v - \v \cdot \grad \u = 0 \\
    \v(0) = \w
  \end{gather*}
  erf\"ullt.
  
  (F\"ur Experten: warum h\"angt diese Konstruktion nur von $\w$,
  nicht aber von der Wahl der Kurve $\phi_\varepsilon$ ab?)
\end{enumerate}

\end{document}
