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\begin{document}

\title{Str\"omungsmechanik}
\author{\"Ubungsblatt 10}
\date{27.06.2001}
\maketitle


\begin{enumerate}
  
\item Beschreibe die Bewegung eines ringf\"ormigen Wirbelfadens unter
  der \emph{Local Induction Approximation}.  Diskutiere, inwieweit das
  Ergebnis physikalisch sinnvoll ist.

\item Betrachte die W\"armeleitungsgleichung
  $$
    \partial_t u(x,t) = \nu \, \partial_{xx} u(x,t).
  $$
  f\"ur $x \in [0,\infty)$ mit Randbedingungen $u(0)=0$ und
  $u(\infty)=U$.

  \begin{enumerate}
    \item Zeige, dass f\"ur jede L\"osung der W\"armeleitungsgleichung
      und beliebiges $\sigma > 0$ gilt
      $$
        u(x,t) = u \Bigl(\frac{x}{\sqrt \sigma}, \frac{t}\sigma \Bigr) .
      $$

      Hinweis: F\"uhre neue Variablen $\xi = x/\sqrt \sigma$ und $\tau
      = t/\sigma$ ein.  Welche Differentialgleichung l\"ost
      $u(\xi,\tau)$?
      
    \item Teil (a) gilt insbesondere auch f\"ur $\sigma=t$.  Dies
      motiviert den Ansatz $u(x,t) = U \, f(\xi)$ mit $\xi=x/\sqrt t$.
      Welche (gew\"ohnliche) Differentialgleichung gilt damit f\"ur
      $f$?  Wie lauten die Randbedingungen?  L\"ose diese
      Differentialgleichung so weit wie m\"oglich (Formelsammlung!).

    \end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
