\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{fullpage,amsmath,amsfonts}

\newcommand*  {\e}{{\mathrm e}}
\renewcommand*{\d}{{\mathrm d}}
\renewcommand*{\i}{{\mathrm i}}

\newcommand*  {\R} {{\mathbb R}}
\newcommand*  {\T} {{\mathbb T}}

\renewcommand*{\v}{{\boldsymbol v}}
\renewcommand*{\u}{{\boldsymbol u}}
\newcommand*  {\w}{{\boldsymbol w}}
\renewcommand*{\k}{{\boldsymbol k}}
\newcommand*  {\x}{{\boldsymbol x}}
\newcommand*  {\n}{{\boldsymbol n}}
\newcommand*  {\grad}{{\boldsymbol \nabla}}
\newcommand*  {\vort}{{\boldsymbol \omega}}

\newcommand*  {\id}{\operatorname{Id}}

\begin{document}

\title{Str\"omungsmechanik}
\author{\"Ubungsblatt 2}
\date{02.05.2001}
\maketitle

\begin{enumerate}
\item Die Advektion von Feldern l\"asst sich in Lagrange'schen
  Koordinaten sehr einfach ausdr\"ucken.

  Leite aus folgenden Ausdr\"ucken die (schon bekannten)
  Transportgleichungen in Euler'schen Koordinaten ab.  Hinreichende
  Differenzierbarkeit sei gegeben.

  \begin{enumerate}
  \item \emph{Advektion eines skalaren Feldes} $f$:
    $$
      f (\eta (\x,t),t) = f(\x, 0)
    $$

  \item \emph{Massenerhaltung:}
    $$
      \rho (\eta (\x,t), t) \, J(\x,t) = \rho (\x, 0),
    $$
    wobei $J=\det \grad \eta$ die Jacobideterminante ist.  

  \item \emph{Advektion eines Vektorfeldes} $\v$:
    $$
      \v (\eta (\x,t), t) = \grad \eta (\x,t) \cdot \v (\x, 0)
    $$
    (Siehe auch Aufgabe 2 auf dem 1. \"Ubungsblatt.)
  \end{enumerate}
  
\item Leite die Wirbelst\"arkenformulierung der Eulergleichungen f\"ur
  homogene inkompressible Fl\"ussigkeiten aus der Impulsgleichung ab:
  \begin{equation*}
    \partial_t \vort + \u \cdot \grad \vort = \vort \cdot \grad \u.
    \tag{*}
  \end{equation*}
  (Wer hat die k\"urzeste Rechnung?)
  
\item Zeige, dass eine radiale Wirbelst\"arkenverteilung in zwei
  Raumdimensionen eine station\"are L\"osung von (*) ist.
  
\end{enumerate}

\end{document}
