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\begin{document}

\title{Str\"omungsmechanik}
\author{\"Ubungsblatt 5}
\date{23.05.2001}
\maketitle

\begin{enumerate}
  
\item Zeige, dass f\"ur eine homogene, inkompressible Fl\"ussigkeit auf
  einem Gebiet $\Omega \subset \R^2$ jedes Integral der Form
$$
  I = \int_\Omega f(\omega(\x)) \, \d \x
$$
eine Erhaltungsgr\"o\ss e ist, wobei $f \colon \Omega \to \Omega$ eine
beliebige (messbare) Funktion ist.

Bemerkung: Insbesondere ist also die sogenannte \emph{Enstrophie}
$$
  E = \int_\Omega |\omega(\x)|^2 \, \d\x
$$
eine Erhaltungsgr\"o\ss e.

\item Beweise die Eindeutigkeit der in der Vorlesung konstruierten
  L\"osung der Euler\-gleich\-un\-gen f\"ur homogene, inkompressible
  Fl\"ussigkeiten auf einem beschr\"ankten Gebiet $\Omega\subset\R^2$.

  Dabei kann man wie folgt vorgehen: Nehme an, es g\"abe eine weitere
  L\"osung $\phi$ der Lagrange'schen Bewegungsgleichung, also
  $$
   \dot \phi (\x,t) = \int_\Omega K(\phi(\x,t), \phi(\y,t)) \,
   \omega_0(\y) \, \d \y ,
  $$
  $$
    \phi( \,\cdot\, , 0) = \id .
  $$
  Sch\"atze dann die Differenz zur  L\"osung $\eta(\x,t)$ genau wie im
  Schritt 2 des Fixpunktargumentes aus der Vorlesung ab (siehe auch
  Marchioro \& Pulvirenti, Abschnitt 2.3).

  
\end{enumerate}

\end{document}
