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\begin{document}

\title{Str\"omungsmechanik}
\author{\"Ubungsblatt 7}
\date{06.06.2001}
\maketitle

Die folgenden Aufgaben illustrieren das \emph{d'Alembert'sche Paradox}
in drei Raumdimensionen.

Es sei $B\subset \R^3$ die Einheitskugel, $B_R$ die Kugel mit Radius
$R\geq1$ um den Ursprung, $\U$ eine vorgegebene Geschwindigkeit im
Unendlichen, $r=|\x|$, und $\n=-\x/r$ das \"au\ss ere
Einheitsnormalenfeld auf $B$.

\begin{enumerate}
  
\item Zeige, dass $\u=\grad\phi$ mit
  $$
    \phi = -\frac{1}{2r^2} \, \U \cdot \n + \x \cdot \U
  $$
  einen Potenzialfluss im Au\ss enraum von $B$ definiert.

\item Begr\"unde, dass die Kraft, die auf $B$ wirkt, durch 
  $$
    {\cal F} = - \int_{\partial B_R}
      \bigl( \u (\u \cdot \n) + p \n) \, \d A
  $$
  gegeben ist.

  Hinweis:  Es gilt offensichtlich, dass
  $$
    {\cal F} = - \int_{\partial B} p \n \, \d A .
  $$
  Wie sieht die Kraftbilanz f\"ur das ``Testvolumen''
  $B_R\setminus B$ aus?

\item Folgere schlie\ss lich, dass ${\cal F}=0$.

\end{enumerate}
\end{document}
