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\begin{document}

\title{Str\"omungsmechanik}
\author{\"Ubungsblatt 9}
\date{20.06.2001}
\maketitle


\begin{enumerate}
  
\item Betrachte die Bewegung eines einzelnen Punktwirbels in einem
  beschr\"ankten Gebiet $\Omega \subset \R^2$.  Die Green'sche
  Funktion der Poissongleichung auf $\Omega$ l\"asst sich schreiben
  als
  $$
    G_\Omega(x,y) = G(x-y) + \gamma_\Omega (x,y) ,
  $$
  wobei $G$ die Green'sche Funktion der freien Poissongleichung
  (also der Poissongleichung auf ganz $\R^2$), und $\gamma_\Omega$
  eine gebietsabh\"angige glatte Funktion ist.

  Zeige, dass sich der Wirbel entlang der Niveaulinien der Funktion
  $\gamma (x) \equiv \gamma_\Omega(x,x)$ bewegt.

\item Betrachte die Erhaltungsgr\"o{\ss}en
  $$
    \boldsymbol{M} = \sum_{i=1}^N
        \Gamma_i \, \x_i
  $$
  und
  $$
    I = \sum_{i=1}^N
        \Gamma_i \, |\x_i|^2
  $$
  f\"ur Punktwirbeldynamik auf $\R^2$ vom \"Ubungsblatt 8.
  
  Sind $\boldsymbol M$ und $I$ Erhaltungsgr\"o{\ss}en f\"ur
  Punktwirbeldynamik in der Halbebene?  Wenn nicht, warum nicht?
  Bleibt irgendetwas erhalten?  (Beachte, dass
  $\boldsymbol{M}=(M_1,M_2)$.)

\end{enumerate}
\end{document}
