\documentclass[10pt]{article}
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%*** page setup *****************************************************

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%*** document begins here *******************************************
\begin{document}

  % header (first page only)
  \begin{flushright}
    \fbox{\emph{"Ubungsgruppe Roland Eikemper,
                Mittwoch 13.15 Uhr - 14.00 Uhr,
                Raum H41/S8}} \\
  \end{flushright}
  
  \begin{flushright}
    Nils Gehlenborg (\emph{neil@mangojelly.org}) \\
  \end{flushright}

  % title (first page only)
  \section*{Numerik: "Ubungsblatt 10}
  

  \begin{enumerate}

    \item % 1

    \begin{enumerate}

      \item % a
      Das implizite Eulerverfahren f"ur den angegebenen harmonischen
      Oszillator kann in dieser Form geschrieben werden, denn es
      gilt

      \begin{align}
        x_{n+1} &= M^{-1} x_{n} \notag \\
        \Leftrightarrow
        x_{n+1} &= (E-\Delta t A)^{-1} x_{n} \notag \\
        \Leftrightarrow
        (E-\Delta t A) x_{n+1} &= x_{n} \notag \\
        \Leftrightarrow
        x_{n+1} - \Delta t A x_{n+1} &= x_{n} \text{,}
      \end{align}
      
      wobei $(1)$ die Form des impliziten Eulerverfahrens f"ur
      vektorwertige Funktionen ist.

      \item % b
      $M$ ist f"ur beliebige Zeitschritte $\Delta t$ invertierbar,
      denn die Determinante von $M$,

      \begin{align*}
        |M| = |E-\Delta t A| =
        \left|
        \left(
        \begin{array}{cc}
          1 & 0 \\
          0 & 1
        \end{array}
        \right)
        -
        \left(
        \begin{array}{cc}
          0 & \Delta t \\
          -\Delta t & 0 
        \end{array}
        \right)
        \right|
        =
        1 + (\Delta t)^{2}
      \end{align*}

      ist immer ungleich $0$, wegen $(\Delta t)^{2} > 0 \; \forall
      \; \Delta t$, woraus Invertierbarkeit folgt.
      
    \end{enumerate}


    \item % 2
    (Siehe Programm \texttt{implicit\_euler.m} im Anhang.) Das
    \textsf{Octave}-Programm \texttt{implicit\_euler.m} verwendet die
    Formel

    \begin{align*}
      \left(
      \begin{array}{c}
        x_{n+1} \\
        y_{n+1}
      \end{array}
      \right)
      =
      \left(
      \begin{array}{cc}
        m_{1} & m_{2} \\
        m_{3} & m_{4}
      \end{array}
      \right)
      \cdot
      \left(
      \begin{array}{c}
        x_{n} \\
        y_{n}
      \end{array}
      \right)      
    \end{align*}
    
    zur L"osung des angegebenen harmonischen Oszillators. Dabei ist
    
    \begin{align*}
      M^{-1} = (E-\Delta t A)^{-1} =
      \left(
      \begin{array}{cc}
        m_{1} & m_{2} \\
        m_{3} & m_{4}
      \end{array}
      \right) \text{.}
    \end{align*}

    Damit erh"alt man nach Vektor-Matrix-Multiplikation zwei Gleichungen

    \begin{align*}
      x_{n+1} = m_{1}x_{n} + m_{2}y_{n} \\
      y_{n+1} = m_{3}x_{n} + m_{4}y_{n}
    \end{align*}

    zur Berechnung in \textsf{Octave}.


    \item % 3
    (Siehe Programm \texttt{symplectic\_euler.m} im Anhang.) Das
    \textsf{Octave}-Programm \texttt{symplectic\_euler.m} plottet die
    L"osung des harmonischen Oszillators mit Hilfe der Formel

    \begin{align*}
      x_{n+1} = B x_{n} \text{, wobei} \\
      B =
      \left(
      \begin{array}{cc}
        0 & 0 \\
        0 & 1 
      \end{array}
      \right)
      M^{-1} +
      \left(
      \begin{array}{cc}
        1 & \Delta t \\
        0 & 0
      \end{array}      
      \right) \text{,}
    \end{align*}    

    die zur Berechnung in \textsf{Octave} umgeformt wird zu

    \begin{align*}
      x_{n+1} &= x_{n} + \Delta t y_{n} \\
      y_{n+1} &= m^{-1}_{21} x_{n} + m^{-1}_{22} y_{n}
      \text{.}
    \end{align*}

    Die $x$-Komponente wurde also explizit berechnet, die
    $y$-Komponente implizit.
    Abbildung \ref{aufg3abb1} zeigt sehr deutlich die Unterschiede
    zwischen den drei verschiedenen Eulerverfahren. Sowohl die
    Trajektorien des impliziten als auch die des expliziten weichen
    sehr stark von der elliptischen Form der Trajektorien ab, die
    nach einer Fixpunkt-Untersuchung des harmonischen Oszillators
    zu erwarten w"aren. Allein das symplektische Eulerverfahren
    ist sehr nahe an der richtigen L"osung, allerdings kann man bei
    einem gr"o"seren $\Delta t$ auch hier gr"o"sere Abweichungen 
    sehen. F"ur die Genauigkeit der drei Verfahren gilt also
    $\text{Euler}_{\text{explizit}} < \text{Euler}_{\text{implizit}}
    < \text{Euler}_{\text{symplektisch}}$.

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \resizebox*{12cm}{!}{\includegraphics{euler_comparison.eps}}
      \caption{\texttt{line 1}: explizit,
               \texttt{line 2}: implizit,
               \texttt{line 3}: symplektisch
               ($\Delta t = 0.01$, $10000$ Schritte)}
      \label{aufg3abb1}
    \end{figure}

  \end{enumerate}

\end{document}
