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\begin{document}

  \section*{Numerik: "Ubungsblatt 4}

  \begin{enumerate}

    \item % 1
    (Siehe Programme \texttt{gauss.m} und \texttt{simple\_gauss.m} im
    Anhang.)
    
    \item % 2
    (Siehe Programme \texttt{gauss.m} und \texttt{pivot\_gauss.m} im
    Anhang.)

    \item % 3
    Zum Vergleich von \texttt{simple\:\_gauss(A,b)},
    \texttt{pivot\_gauss(A,b)} und dem \textsf{Octave}-Algorithmus
    bieten sich an

    \begin{enumerate}
      \item % a
      eine $25\times 25$ Vandermonde-Matrix $A$ und ein Vektor $b$ der
      Zeilensummen von $A$. Beim ersten Betrachten der Ergebnisse stellt
      man in allen drei F"allen fest, da"s die numerische L"osung
      weit von der exakten L"osung entfernt ist. Es ist allerdings der
      Fall, da"s die Werte, die beim R"uckw"artseinsetzen als erste
      berechnet werden, wesentlich n"aher an der exakten L"osung liegen,
      als die, die erst am Schlu"s berechnet werden. Es liegt die
      Vermutung nahe, da"s sich im Verlauf des R"uckw"artseinsetzens
      der Fehler noch verst"arkt. Bei den Algorithmen
      \texttt{simple\_gauss(A,b)} und \texttt{pivot\_gauss(A,b)} stellt
      man
      zus"atzlich noch ein gro"se numerische Instabilit"at fest, denn
      die Werte oszillieren stark. Auch der Algorithmus von
      \textsf{Octave} ist numerisch instabil, jedoch ist diese
      Instabilit"at geringer, als die der beiden anderen Algorithmen.
      Vergleicht man die Residuumsnorm\footnote{Die
      Residuumsnorm wird berechnet als $r = \|\Delta b\|$, wobei
      $\Delta b = Ax_{num} - b$ und $x_{num}$ die numerische L"osung
      f"ur das lineare Gleichungssystem $Ax = b$ ist.} $r$ der drei
      Algorithmen, so stellt man fest, das $r_{octave} <
      r_{simple} < r_{pivot}$. "Uberraschend ist die
      Tatsache, da"s die Residuumsnorm von \texttt{simple\_gauss(A,b)}
      kleiner ist, als die von \texttt{pivot\_gauss(A,b)}. Es liegt
      demnach
      ein Fall vor, bei dem die Pivotsuche das Ergebnis verschlechtert,
      statt es zu verbessern. Au"serdem tr"agt die hohe Konditionszahl
      der Matrix $A$ (\texttt{cond(A) = 3.9910e+34}) zur
      Verschlechterung der Ergebnisse bei.

      \item % b
      eine $100 \times 100$ Matrix $B$, wobei
      \texttt{B = rand(100)\^\:2} und ein Vektor $c$ mit
      \texttt{c = rand(100,1)}. Berechnet man hier die Residuumsnormen,
      ergibt sich $r_{octave} = 1.6667e-12$, $r_{pivot} = 
      7.6620e-12$ und  $r_{simple} = 1.0641e-11$, so da"s gilt
      $r_{octave} < r_{pivot} < r_{simple}$.
      Dies ist die zu erwartende Reihenfolge, denn im Allgemeinen
      verbessert die Pivotsuche das Ergebnis. Im Vergleich zu (a), als
      mit der Vandermonde-Matrix gerechnet wurde, sind die
      Residuumsnormen wesentlich besser, da"s hei"st n"aher bei $0$
      (Idealfall). Das liegt auch an der kleineren Konditionszahl von
      $B$ (\texttt{cond(B) = 5.7059e+05}).
    \end{enumerate}
    
  \end{enumerate}

\end{document}

