\documentclass[10pt]{article}
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%*** document begins here *******************************************
\begin{document}

  % header (first page only)
  \begin{flushright}
    \fbox{\emph{"Ubungsgruppe Roland Eikemper,
                Mittwoch 13.15 Uhr - 14.00 Uhr,
                Raum H41/S8}} \\
  \end{flushright}
  
  \begin{flushright}
    Nils Gehlenborg (\emph{neil@mangojelly.org}) \\
  \end{flushright}

  % title (first page only)
  \section*{Numerik: "Ubungsblatt 6}
  

  \begin{enumerate}

    \item % 1
    Um die Form der Koeffizienten zeigen zu
    k"onnen, m"ussen zuerst die Ableitungen der Spline-Funktion
    berechnet werden:

    \begin{align}
      s'_{i}(x) &= 3a_{i}(x-x_{i})^{2} + 2b_{i}(x-x_{i}) + c_{i}
      \notag \\
      s''_{i}(x) &= 6a_{i}(x-x_{i})+2b_{i}
      \notag
    \end{align}

    Au"serdem werden $s_{i}(x)$, $s'_{i}(x)$ und $s''_{i}(x)$ an
    den Endpunkten eines jeden Intervalls ben"otigt:
    
    \begin{align}
      y_{i-1}=s_{i}(x_{i}-1) &= -a_{i} + b_{i} - c_{i} + d_{i} \\
      y_{i}=s_{i}(x_{i}) &= d_{i} \\
      y'_{i-1}=s'_{i}(x_{i}-1) &= 3a_{i} - 2b_{i} + c_{i} \\
      y'_{i}=s'_{i}(x_{i}) &= c_{i} \\      
      y''_{i-1}=s''_{i}(x_{i}-1) &= -6a_{i} + 2b_{i}
      \notag \\
      y''_{i}=s''_{i}(x_{i}) &= 2b_{i}
      \notag
    \end{align}
    
    Nun lassen sich die Koeffizienten berechnen.

    \begin{align}    
      d_{i}&=y_{i} \; \mbox{und} \\
      c_{i}&=y'_{i}
    \end{align}

    folgen sofort aus $(2)$ und $(4)$. Setzt man nun $(5)$ und $(6)$
    in $(1)$ ein, so ergibt sich f"ur $a_{i}$:

    \begin{align}
      a_{i} &= -y_{i-1} + b_{i} - y'_{i} + y_{i}
    \end{align}

    Mit $(5)$, $(6)$ und $(7)$ in $(3)$ ergibt sich dann f"ur $b_{i}$:

    \begin{align}
      y'_{i-1} &= -3y_{i-1}+3b_{i}-3y'_{i}+3y_{i}-2b_{i}+y'_{i}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      b_{i} &= y'_{i-1}+3y_{i-1}+2y'_{i}-3y_{i}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      b_{i} &= 3(y_{i-1}-y_{i})+2y'_{i}+y'_{i-1}
    \end{align}

    Setzt man nun $(8)$ in $(7)$ ein, so erh"alt man f"ur $a_{i}$:

    \begin{align}
      a_{i} &= -y_{i-1}+3(y_{i-1}-y_{i})+2y'_{i}+y'_{i-1}-y'_{i}+y_{i}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      a_{i} &= -y_{i-1}+3y_{i-1}-3y_{i}+y'_{i}+y'_{i-1}+y_{i}
      \notag \\      
      \Leftrightarrow
      a_{i} &= 2y_{i-1}-2y_{i}+y'_{i}+y'_{i-1}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      a_{i} &= 2(y_{i-1}-y_{i})+y'_{i}+y'_{i-1}
      \notag
    \end{align}

    Damit ist gezeigt, da"s die Koeffizienten die angegebene
    Form haben.
    
    \item % 2
    Um zu schlie"sen, da"s die Ableitungen an den St"utzstellen des
    eingespannten Splines das angegebene lineare Gleichungssystem
    l"osen, verwendet man die Stetigkeit von $s''_{i}(x)$ ($s_{i}(x)
    \in C^{2}$) an den St"utzstellen:

    \begin{align}
      s''_{i}(x_{i-1})
      &=
      s''_{i-1}(x_{i-1})
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      -6a_{i} + 2b_{i}
      &=
      2b_{i-1}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      -12y_{i-1} + 12y_{i} - 6y'_{i} - 6y'_{i-1} + 2b_{i}
      &=
      2b_{i-1}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      -12y_{i-1}+12y_{i}-6y'_{i}-6y'_{i-1}+6y_{i-1}-6y_{i}+4y'_{i}+
      2y'_{i-1}
      &=
      6y_{i-2}-6_{y-1}+4y'_{i-1}+2y'_{i-2}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      -6y_{i-1}+6y_{i}-2y'_{i}-4y'_{i-1}
      &=
      6y_{i-2}-6_{y-1}+4y'_{i-1}+2y'_{i-2}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      -2y'_{i}-8y'_{i-1}-2y'_{i-2}
      &=
      6y_{i-2}-6y_{i}
      \notag \\
      \Leftrightarrow
      y'_{i-2}+4y'_{i-1}+y'_{i}
      &=
      3y_{i}-3y_{i-2}
    \end{align}

    Gleichung $(9)$ kann zu dem gegebenen Gleichungssystem umgeformt
    werden, damit ist wegen der Stetigkeit von $s''_{i}(x)$ gezeigt,
    da"s die Ableitungen an den St"utzstellen das Gleichungssystem
    l"osen.
    
    \item % 3 
    (Siehe Programm \texttt{spline.m} im Anhang.) Das Programm liefert
    f"ur verschiedene $a$ entsprechende Kurven (Abbildung
    \ref{aufg3abb1}). Im Allgemeinen l"a"st
    sich aussagen, da"s die Amplitude des Splines proportional zu $a$
    ist. Insbesondere f"ur $a = 0$ (\texttt{line 5}) stellt der Spline
    eine Gerade dar. Desweiteren gilt, da"s der Spline f"ur $-a$ die
    Spiegelung des Splines f"ur $a$ an der $x$-Achse ist.
    \texttt{line 1} und \texttt{line 2} machen dies deutlich.

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \resizebox*{14cm}{!}{\includegraphics{multispline.eps}}
      \caption{\texttt{line 1,2,3,4,5}: $a=1,-1,0.1,0.01,0$}
      \label{aufg3abb1}
    \end{figure}
    
    \texttt{line 4} ist im Intervall $[1,2]$ nicht mit
    den Gitternetzlinien zu verwechseln, sie sind dort durch
    \texttt{line 5} verdeckt.

  \end{enumerate}

\end{document}
