\documentclass[10pt]{article}
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%*** page setup *****************************************************

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%*** document begins here *******************************************
\begin{document}

  % header (first page only)
  \begin{flushright}
    \fbox{\emph{"Ubungsgruppe Roland Eikemper,
                Mittwoch 13.15 Uhr - 14.00 Uhr,
                Raum H41/S8}} \\
  \end{flushright}
  
  \begin{flushright}
    Nils Gehlenborg (\emph{neil@mangojelly.org}) \\
  \end{flushright}

  % title (first page only)
  \section*{Numerik: "Ubungsblatt 7}
  

  \begin{enumerate}

    \item % 1

    \begin{enumerate}
    
      \item % a
      Um das Interpolationspolynom 2. Grades f"ur die angegebenen
      St"utzstellen aufstellen zu k"onnen, m"ussen im ersten Schritt
      die Basispolynome $l_{i}$ ($i = 0,1,2$) und die dazugeh"origen
      St"utzkoeffizienten $\lambda_{i}$ berechnet werden.

      \begin{align}
        l_{0} &= \lambda_{0} (x-x_{1})(x-x_{2}) \notag \\
              &= \lambda_{0} (x^{2} - x(x_{1} + x_{2}) + x_{1}x_{2})
              \; \mbox{mit} \\
        \lambda_{0} &= \frac{1}{(x_{0}^{2} - x_{0}(x_{1} + x_{2})
                       + x_{1}x_{2})}
      \end{align}
      
      \begin{align}
        l_{1} &= \lambda_{1} (x-x_{0})(x-x_{2}) \notag \\
              &= \lambda_{1} (x^{2} - x(x_{0} + x_{2}) + x_{0}x_{2})
              \; \mbox{mit} \\
        \lambda_{1} &= \frac{1}{(x_{1}^{2} - x_{1}(x_{0} + x_{2})
                       + x_{0}x_{2})}
      \end{align}
      
      \begin{align}
        l_{2} &= \lambda_{2} (x-x_{0})(x-x_{1}) \notag \\
              &= \lambda_{2} (x^{2} - x(x_{0} + x_{1}) + x_{0}x_{1})
              \; \mbox{mit} \\
        \lambda_{2} &= \frac{1}{(x_{2}^{2} - x_{2}(x_{0} + x_{1})
                       + x_{0}x_{1})}
      \end{align}

      Es ist anzumerken, da"s die St"utzkoeffizienten Konstanten sind.
      Aus Gr"unden der "Ubersichtlichkeit werden sie in den folgenden
      Schritten nicht in ihrer expliziten Form verwendet.

      Mit $(1)-(6)$ ergibt sich f"ur das Interpolationspolynom

      \begin{align}
        p_{2}(x) &=y_{0} \lambda_{0}
                   (x^{2}-x(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2})+ \notag \\
                 &\phantom{=} y_{1} \lambda_{1}
                   (x^{2}-x(x_{0}+x_{2})+x_{0}x_{2})+ \notag \\
                 &\phantom{=} y_{2} \lambda_{2}
                   (x^{2}-x(x_{0}+x_{1})+x_{0}x_{1}) \mbox{.}
      \end{align}
      
      \item % b
      
      Aus $(7)$ l"a"st sich die erste Ableitung von $p_{2}(x)$
      gewinnen, sie lautet

      \begin{align}
        p'_{2}(x) &=y_{0} \lambda_{0}
                   (2x-x_{1}-x_{2})+ \notag \\
                  &\phantom{=} y_{1} \lambda_{1}
                   (2x-x_{0}-x_{2})+ \notag \\
                  &\phantom{=} y_{2} \lambda_{2}
                   (2x-x_{0}-x_{1}) \mbox{.}
      \end{align}

      Um aus $(8)$ eine N"aherungsformel f"ur $f'(x_{0})$ herzuleiten,
      berechnet man $p'_{2}(x_{0})$ und erh"alt

      \begin{align*}
        p'_{2}(x_{0}) &= y_{0}\lambda_{0}(2x_{0}-x_{1}-x_{2})+
                         y_{1}\lambda_{1}(x_{0}-x_{2})+
                         y_{2}\lambda_{2}(x_{0}-x_{1}) \\
                      &= y_{0}\lambda_{0}(x_{0}-x_{1})+
                         y_{0}\lambda_{0}(x_{0}-x_{2})+
                         y_{1}\lambda_{1}(x_{0}-x_{2})+
                         y_{2}\lambda_{2}(x_{0}-x_{1}) \\
                   &= (x_{0}-x_{1})(y_{0}\lambda_{0}+y_{2}\lambda_{2})+
                      (x_{0}-x_{2})(y_{0}\lambda_{0}+y_{1}\lambda_{1})
                         \mbox{.}
      \end{align*}

      Ob das Einsetzen der $\lambda_{i}$ in dieser allgemeinen Form
      Sinn macht, ist fraglich. Denn die "Ubersichtlichkeit w"urde
      verloren gehen und au"serdem k"onnte sich die Berechnung von 
      $p'_{2}(x_{0})$ mit konkreten Werten unter Umst"anden sogar
      verkomplizieren.
      
    \end{enumerate}

    \item % 2
    (Siehe Programm \texttt{standard\_pip.m} im Anhang.) Das
    \textsf{Octave}-Programm \texttt{standard\_pip.m} liefert die
    in Abbildung \ref{aufg2abb1} dargestellten Graphen f"ur $f(x) =
    \frac{1}{1+x^{2}}$ und f"ur das entsprechende Interpolationspolynom
    $p_{10}(x)$ bez"uglich der "aquidistanten St"utzstellen $x_{i} = 
    -5, -4, \ldots, 5$.
    
    
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \resizebox*{11cm}{!}{\includegraphics{standard_pip.eps}}
      \caption{\texttt{line 1}: $f(x)$, \texttt{line 2}: $p_{10}(x)$}
      \label{aufg2abb1}
    \end{figure}

    In Abbildung \ref{aufg2abb1} sind an den R"andern des Intervalls
    deutlich die f"ur die Polynominterpolation typischen "Uberschwinger
    zu erkennen.
    
    
    \item % 3 
    (Siehe Programm \texttt{tschebyscheff\_pip.m} im Anhang.) Verwendet
    man statt "aquidistanter St"utzstellen die sogenannten
    Tschebyscheff-Knoten, so ergibt sich f"ur das Interpolationspolynom 
    der in Abbildung \ref{aufg3abb1} gezeigte Graph. 

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \resizebox*{11cm}{!}{\includegraphics{tschebyscheff_pip.eps}}
      \caption{\texttt{line 1}: $f(x)$, \texttt{line 2}: $p_{10}(x)$}
      \label{aufg3abb1}
    \end{figure}

    Die in Abbildung \ref{aufg2abb1} auffallenden "Uberschwinger an
    den R"andern des Intervalls sind bei Verwendung der
    Tschebyscheff-Knoten stark reduziert, so da"s das
    Interpolationspolynom $p_{10}(x)$ sehr viel besser an die Kurve
    angen"ahert ist, als im vorangegangenen Fall.

  \end{enumerate}

\end{document}
