\documentclass[10pt]{article}
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%*** page setup *****************************************************

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%*** document begins here *******************************************
\begin{document}

  % header (first page only)
  \begin{flushright}
    \fbox{\emph{"Ubungsgruppe Roland Eikemper,
                Mittwoch 13.15 Uhr - 14.00 Uhr,
                Raum H41/S8}} \\
  \end{flushright}
  
  \begin{flushright}
    Nils Gehlenborg (\emph{neil@mangojelly.org}) \\
  \end{flushright}

  % title (first page only)
  \section*{Numerik: "Ubungsblatt 9}
  

  \begin{enumerate}

    \item % 1
    Siehe Anlage.

    \item % 2
    Bestimmung der Fixpunkte der Differentialgleichung

    \begin{align*}
      \dot{x} &= y \\
      \dot{y} &= x - x^{3} \text{.}      
    \end{align*}

    Aus $\dot{x} = y$ folgt, da"s die Ordinate aller Fixpunkte $y = 0$ ist.
    $x - x^{3} = 0 \Leftrightarrow x(1 - x^{2}) = 0$ liefert die
    Abszissen $x = 0$, $x = 1$ und $x = -1$. Damit gibt es drei Fixpunkte
    $(0,0)$, $(-1,0)$ und $(1,0)$.
    Die Jacobi-Matrix f"ur diese Differentialgleichung ist

    \begin{align*}
      Df = \left(
           \begin{array}{cc}
             0          & 1 \\
             1 - 3x^{2} & 0
           \end{array}
           \right) \text{.}
    \end{align*}

    Zur Untersuchung der Stabilit"at des Fixpunkts $(0,0)$ bestimmt man
    die Jacobi-Matrix an diesem Punkt

    \begin{align*}
      Df_{(0,0)} = \left(
                   \begin{array}{cc}
                     0 & 1 \\
                     1 & 0
                   \end{array}
                   \right)
    \end{align*}
    
    aus der folgt

    \begin{align*}
      \left|
      \begin{array}{cc}
        -\lambda & 1 \\
        1        & -\lambda
      \end{array}
      \right|
      =
      \lambda^{2} - 1 \text{.}
    \end{align*}

    Die Eigenwerte von $Df_{(0,0)}$ werden also bestimmt durch

    \begin{align*}
      \lambda^{2} - 1 &= 0 \\
      \Leftrightarrow
      \lambda^{2} &= 1 \\
      \Leftrightarrow
      \lambda &= \pm 1 \text{.}
    \end{align*}
    
    Da $Df_{(0,0)}$ einen negativen und einen positiven reellen
    Eigenwert hat, ist der Fixpunkt $(0,0)$ instabil.
    Zur Untersuchung der Stabilit"at der Fixpunkte $(-1,0)$ und $(1,0)$
    bestimmt man die Jacobi-Matrix an diesen Punkten

    \begin{align*}
      Df_{(-1,0)} = Df_{(1,0)} = \left(
                                \begin{array}{cc}
                                  0  & 1 \\
                                  -2 & 0
                                \end{array}
                                \right)
    \end{align*}
    
    aus der folgt

    \begin{align*}
      \left|
      \begin{array}{cc}
        -\lambda & 1 \\
        -2        & -\lambda
      \end{array}
      \right|
      =
      \lambda^{2} + 2 \text{.}
    \end{align*}

    Die Eigenwerte von $Df_{(-1,0)} = Df_{(1,0)}$ werden also bestimmt
    durch

    \begin{align*}
      \lambda^{2} + 2 &= 0 \\
      \Leftrightarrow
      \lambda^{2} &= -2 \\
      \Leftrightarrow
      \lambda &= \pm i \sqrt{2} \text{.}
    \end{align*}
    
    Da $Df_{(-1,0)} = Df_{(1,0)}$ einen negativen und einen positiven
    imagin"aren Eigenwert hat, sind die Fixpunkte $(-1,0)$
    und $(1,0)$ neutral stabil.
    

    \item % 3
    (Siehe Programm \texttt{explicit\_euler.m} im Anhang.) Das
    \textsf{Octave}-Programm \texttt{explicit\_euler.m} plottet die
    L"osung des harmonischen Oszillators f"ur verschiedene $\Delta t$.
    Abbildung \ref{aufg3abb1} zeigt L"osungen f"ur unterschiedliche 
    $\Delta t$.
    
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \resizebox*{14cm}{!}{\includegraphics{explicit_euler.eps}}
      \caption{\texttt{line 1}: $\Delta t = 0.001$,
               \texttt{line 2}: $\Delta t = 0.01$ und
               \texttt{line 3}: $\Delta t = 0.1$} ($t_{max}$ jeweils
               $100$)
      \label{aufg3abb1}
    \end{figure}

    Es ist deutlich zu erkennen, da"s f"ur kleinere $\Delta t$ der
    Fehler geringer wird. Offensichtlich ist der Fehler jedoch in allen
    F"allen zu gro"s, so da"s es sich bei den Trajektorien nie um
    geschlossene Ellipsen handelt, wie die Stabilit"atsuntersuchung der 
    Fixpunkte des harmonischen Oszillators liefert (siehe Vorlesung).

  \end{enumerate}

\end{document}
